开个新坑，games101
Part 1
计算机视觉和计算机图形学的区别。
一切需要猜测的东西，是CV 。 需要理解。
那里是马路，那里是斑马线
MODEL -> IMAGE 图形学
IMAGE -> MODEL CV
IMAGE -> IMAGE CV
MODEL -> MODEL 图形学
难道两者结合起来不能作为一个方向吗？为什么要区分的这么严格。
Part 2
主要了解，向量的点积和叉积。
点积：又称标量积，内积
两个向量的点积结果是一个数，规则就是对应元素相乘。
\[\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2\]对应元素相乘，这就是点积。
叉积：$\mathbf{a}、\mathbf{b}$两个向量作叉积，结果是$\mathbf{c}$向量，并且$\mathbf{c}$向量垂直于$\mathbf{a}、\mathbf{b}$向量。
\[\mathbf{a} \begin{bmatrix} a1 \\ a2 \\ a3 \end{bmatrix} , \ \ \mathbf{b} \begin{bmatrix} b1 \\ b2 \\ b3 \end{bmatrix} \\ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a1 & a2 & a3 \\ b1 & b2 & b3 \\ \end{array} \right|\]我们默认在计算机图形学中使用右手系法则。
我们可以用右手定则在叉积中的应用来判断，一个点在一个平面的外部还是内部。
Part 3
开始慢慢涉及到变化，内容开始变多。
首先学习2D的rotation、scale和shear。
Scale
把一个图形，等比例缩放。
对于上述公式，我们可以写成矩阵形式
\[\begin{equation} \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{equation}\]当然，缩放可以不按相同的比例。
Reflection Matrix
下面看一个常用的反射矩阵
对此，我们可以得到 \(\begin{equation} \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{equation}\)
shear Matirx
我们可以看到，上图中，矩形被拉伸了。那我们该如何写出变换矩阵呢，我们要抓住不动量。
- 整个图形，$y$轴上的值没有变化，因此 $ y = y{\prime} $
- 在观察$x$轴的变化，随着$y$值得变化，对应的x也相应得产生了便宜。当$y = 1$时， $x = a$; $y = 0$时，$x = 0$;
由此，我们可以推理出：
\[\begin{equation} \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{equation}\]Rotation Matrix
这里公式太多用Latex写太麻烦了，我就直接贴原PPT图片了。对于把一个图形，绕着原点旋转$\theta(0 \leq \theta < 90)$，可以用上述矩阵表示，但不需要记住，因为可以现场推演。
上述几个例子，我们可以得到，线性变化我们都可以使用矩阵来表示。但是如果，图形进行平移变化呢？我们是否还是简单的用矩阵表示。
Traslation
这里我们将图形进行了$x$和$y$轴上的平移。
\[x{\prime} = x + t_x, \ y{\prime} = y + t_y \\\]此时：
\[\begin{equation} \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} \end{equation}\]我们会发现，平移变化和缩放，旋转变化不一样。那能不能把几个不同的变化统一成一种形式？
由此，我们引入，齐次坐标的概念。
齐次坐标：通过N+1维坐标来表示N维坐标。
我们通过，对二维坐标系增加一维的方法来统一不同的变化矩阵。
$2D \ point = (x, y, 1)^T$
$2D \ vector = (x, y, 0)^T$
由此上述的平移变化，我们可以写成：
\(\begin{bmatrix}
x{\prime} \\
y{\prime} \\
w{\prime}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x + t_x \\
y + t_y \\
1
\end{bmatrix}\)
为什么，增加的那一维，点用0，向量用1呢？
很简单，我们可以回忆一下
空间中，一个点，减去另一个点，得到的是不是向量。一个向量减去另一个向量还是向量吧。所以很好理解，后缀到底是1还是0。
这样，我们就统一了各种变化，不光伸缩，平移还是旋转都可以使用齐次坐标来统一表示。
例如 Scale
\[S(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]讲完了，单一的变化，如果各种变化结合起来，我们应该怎么分析呢？
不管什么变化组合，我们都先将它平移到原点进行一系列变化，变化完成后再逆着平移回要求的点处。
三维同理。
Part 4
3D的变化分为两大类，都是不同角度从三维变为二维的一张图。
- View transformation（视图变化，观测）
- Projection transformation（投影变化）
- Orthographic（正交）
- Perspective（透视）
结合上一讲，我们使用齐次坐标来表示三维的点和向量。
$3D \ point = (x, y, z, 1)^T$
$3D \ vector = (x,y,z,0)^T$
三维的所有仿射变化都可以用一个四维的矩阵来表示。什么叫仿射变化，线性变化和平移变化的叠加。下面是三维的点。
\[\begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \\ z{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}\]我们单独看三维的旋转，我们默认不管二维还三维，旋转都是逆时针。
然后，我们回顾，二维的旋转变化。
我们发现，以哪根轴为中心，进行旋转对应的值不变。
例如：围绕x轴转，x的坐标都不会改变，旋转的矩阵也跟二维一样。但y轴会有点特殊。这是由于zx的右手系，才能得到y，又
\[\begin{align*} R_\theta &= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \\ R_{-\theta} &= \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} = {R_\theta}^T \\ R_{-\theta} &= {R_\theta}^{-1} \end{align*}\]View transformation
what is view transformation ?
MVP:
- model：搭好场景
- view：找一个好的视角
- projecting：3D投影到2D
在空间中，我们假设有一个出现在随机位置的摄像机，我们可以得知它的位置，它的摄影方向，它的摆放位置（正的放，倒的放）。
但是在空间中，我们这样去了解物体有点麻烦，我们决定，先整体移动到原点，再将$g$对准$-z$轴，$t$对准$y$，$g \times t$对准$x$。（因为整体做相对运动，视图不会变，为什么去原点，可以让操作简化，约定俗成。）
$M_{view} = R_{view}R_{view}$
具体操作，我写在了纸上。
其中注意，旋转矩阵都是正交矩阵，正交矩阵的逆就是他自己的转置矩阵。其次，我们看左侧，这个$R_{view}$ 其实就是求一个变化矩阵
\[\begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \\ z{\prime} \\ \end{bmatrix} = R_{view} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}\]这个变化矩阵，不用深究，是已知的，初学不要去想怎么来的。
Projection transformation
Orthographic projection （正交投影）
Perspective projection （透视投影）
我们发现，正交投影，就跟我们画工程制图一样，十分的工整。但透视投影，明显更符合显示生活中，我们观察的场景，即平行线，却可以相交在某一点。
那我们引入这两种投影有什么用呢，具体怎么在坐标轴上操作投影呢？
回答问题1：
- 个人理解，不管是正交投影还是透视投影，都是为了我们把三维世界“压缩”到二维屏幕上，但不同的需求导致了两种不同的压缩方式。
- 最终世界是二维的，我们需要某种法则，进行统一，简便地映射。
- 不同场景，用到的投影肯定不同，机械相关的工程图，肯定使用正交投影。但有时候，我们需要呈现人眼的景象，这时候我们就需要使用透视投影。
- 三维，到二维并不是放弃了某一个维度。恰恰相反，我们可以人为规定，其中一个维度的方向。譬如$z$轴的方向。
问题2的回答，下面慢慢解释。
正交投影，如何进行？
- 我们从$z$轴，看整个物体
- 压缩$z$轴
- 把物体伸缩到$x$和$y$轴的[-1, 1]的正方形中
来看一个普遍的变化。
我们在三维空间中有随意的一个物体，我们改怎么进行正交投影呢？
- 首先把中心移动到原点处
- 压缩边长到[-1, 1]的范围内
来看如何用矩阵表示呢？ 记住：先平移原点，后压缩
\[M_{ortho} = \begin{bmatrix} \frac{2}{r - l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{b - t} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n - f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -\frac{r + l}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{b + t}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{n + f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]为什么平移前要加负号呢？
简单的带入数字，或者抽线的理解一下。在各个轴的正向，就往负方向平移，相反同理。
ok，接下来来讲透视投影。
透视投影，怎么进行？
我们将近大远小的物体先放缩成，长方体（n->n, f->f）。在进行正交投影。
遵守三个原则
- 近平面不动
- 最远的相对位置不动（$z$轴不动）
- 远平面的中心点不动
这时候，我们能够观察到侧面，其实是一个相似三角形的放缩。
此时，空间任意一点
\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} \frac{nx}{z} \\ \frac{ny}{z} \\ unknow \\ 1 \end{pmatrix} == \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknow \\ z \end{pmatrix} \\\]这是依赖，空间中任意一点，同时乘以不为0的数，还是表示同一个点。
所以，我们来看，原图形经过压缩，变为当前的点
\[M_{persp->ortho} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknow \\ z \end{pmatrix}\]推测出：
\[M_{persp->ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ \text{?} & \text{?} & \text{?} & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\]下面，我们依靠之前讲过的原则推断第三行的未知量。
近平面的点，在变化过程中不变，这里我们用n代替z
\[\\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ n^2 \\ n \end{pmatrix} \\\]推测出未知的第三行
\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & A & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} &= n^2 \\ \Rightarrow\quad An + B &= n^2 \end{align*}\]任何在最远平面的z轴不变 ,直接取最简单的点
\[\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f \\ 1 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ f^2 \\ f \end{pmatrix} \Rightarrow Af + B = f^2\]解出：
\[\begin{align*} A &= n + f \\ B &= -n \end{align*}\]最后得到：
\[M_{persp->ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\]A,B上方直接带入即可。
\[M_{persp} = M_{ortho}M_{persp->ortho}\]总结，透视投影就是先做一个长方体化，然后正交投影。结果就是透视投影